Вняв советам уважаемых форумчан, решил начать решение проблемы с пинками с проверки ЭБУ.
Как я понял, обращаться с этим вопросам на СТО, специализирующимся на ремонте АКПП, бесполезно - там только перебирают коробки и с электроникой никто заморачиваться не хочет.
Пришлось искать специалиста на Авито. Выезд 2500. После считывания всех ошибок (их оказалось несколько больше, чем во время всех предыдущих диагностик, например была обнаружена ошибка по боковой подушке безопасности), спец. указал причину проблемы с коробкой - катализатор. Ещё за 5 тыс. и примерно полчаса времени был прошит ЭБУ (как я понимаю, говоря простым языком, была удалена связь ЭБУ с катализатором, чтобы последний своими ошибками не влиял на правильную работу ЭБУ). На всё про всё ушёл примерно 1 час времени. Далее я получил настоятельную рекомендацию по удалению катализатора (иначе со слов спеца он будет сильно перегреваться, что повлечёт в свою очередь свои проблемы). Электронщик посоветовал своего мастера по удалению катализатора (с его слов 1,5 тыс. и час времени). Как выяснилось на месте эта работа обойдётся в 5 тыс. (уже привычный аргумент "это же Мазда!") и полдня работы. Записался на послезавтра. О результатах сообщу тут.

Меня несколько напрягло, что толчки и АТ появились снова, буквально через несколько км (на машине пока не езжу, просто отогнал в гараж, где будут удалять катализатор). Электронщик успокаивает, что надо сначала решить проблему с катализатором, а потом всё будет ок. Ну что ж, как говорится, будем посмотреть.

ок
можно в личку